Question

x减sinx为什么在极限x趋近与0中相当于1减cosx

Answer 1

当x→0时sinx^n→0,cosx→1,(sinx)^m→0，故sinx^n/(sinx)^m为0/0型，用洛必达法则
有：lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=lim(sinx^n)'/[(sinx)^m]'(x→0)
=nx^(n-1)cosx/[m(sinx)^m-1]cosx=nx^(n-1)/m(sinx)^(m-1)连续用洛必达法则
=n(n-1)x^(n-2)/m(m-1)(sinx)^(m-2)
......
......
......
当n＜m时，lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=0；
当n=m时，lim[sinx^n/(sinx)^m](x→0)=n!/m!=1;
当n＞m时，limsinx^n/(sinx)^m
x不存在.

Answer 2

新年好！Happy New Year ！

1、楼上的说法，是错误的，它们不是等价无穷小！商的极限根本不是1！
2、x 与 sinx 的差等于 x³/6 + o(x^5)；
1 与 cosx 的差等于 x²/2 + o(x⁴)；
( x - sinx )/( 1 - cosx )的极限是0！
3、在我们的日常教学中，有这么几个偏执：
A、刚刚开始学极限时，就有很多很多神经病教师，总是喜欢用半年后
才能学到的麦克劳琳级数、泰勒级数拿来解题，显得神乎其神，而
根本不顾教学的循序渐进，更不顾学生的智力开发，只图死记硬背。
B、然后又将麦克劳林级数、泰勒级数，刻意混为一谈，搅乱学生思路。
C、一方面把等价无穷小代换当成尚方宝剑，另一方面又把幂级数展开
当成另外的方法。逻辑错乱，令人发指。
所以，我们在学习微积分开始，我们胡搅蛮缠了很多概念，百年如一日。