Question

设n是正整数，求证n∧5－n可被30整除

Answer 1

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)，30=2x3x5，
由于n-1,n,n+1中一定有2的倍数和3的倍数，只需证n^5-n可被5整除
当n-1,n,n+1中有5的倍数时，显然成立
当n-1,n,n+1中没有5的倍数时，有n=5x+2或5x-2（x为整数）
则n^2+1=25x^2±20x+5可被5整除
证明完毕

Answer 2

我来试试吧....
分析：由题，6|1998
只需证明
6|n³+5n即可
（n∈z+）
可以通过证明
2|n³+5n且3|n³+5n
运用:
任意n个自然数相乘的积可以被n整除
证明：n³+5n=n³-n+6n=n(n²-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n
2|
(n-1)n(n+1)
3|
(n-1)n(n+1),
(2,3)=1
故
6|(n-1)n(n+1)
6|6n
6|1998
故6|n³+5n+1998