Question

可导与连续的关系是什么？

Answer 1

连续与可导的关系是：可导一定连续，连续不一定可导。

连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。

函数可导的充要条件

函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

在微积分学中，一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

Answer 2

连续、可导与积分的关系

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1.一致连续性定理

若函数f（x）在闭区间【a，b】 上连续，则f（x）在闭区间 【a，b】 上一致连续。

2. 可积的条件

（1）可积的必要条件

定理 若函数f（x）在 【a，b】 上可积，则f（x）在 【a，b】 上必有界。

（2）可积的充分条件

定理1 若函数f（x）在 【a，b】 上连续，则f（x）在 【a，b】 上可积。

定理2 若函数f（x）在【a，b】上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在【a，b】上可积。

定理3 若函数f（x）在 【a，b】 上单调，则f（x）在 【a，b】 上可积。