Question

已知abc分别为三角形abc3个内角abc的对边

Answer 1

cosa+2cos[(b+c)/2]=cosa+2cos[(pi-a)/2]=cosa+2sin(a/2)=1-2sin(a/2)^2+2sin(a/2)
=-2(sin(a/2)-1/2)^2+3/2
sin(a/2)=1/2
时取得最大值
又因为a<180°，所以a/2=30°
a=60°
面积s=bc/2*sina=√3bc/4
1+bc=a^2+2bccosa=b^2+c^2>=2bc
bc<=1
当b=c=1时等号成立
所以面积的最大值为√3/4
此时三角形abc为边长为1的等边三角形

Answer 2

解答
注意到
b=c*cosA+a*cosC以及正弦定理c/sinC=2R有
a*cosC+根号（3）a*sinC-c*cosA-a*cosC-c=0
根号（3）a*sinC-c*cosA-c=0
根号（3）*sinA*sinC-sinC*cosA-sinC=0
根号（3）*sinA-cosA=1
-2*cos(pi/3+A)=1
A=60度
S=根号（3）
1/2*bc*根号（3）/2=根号（3）
bc=4
a^2=b^2+c^2-2*bc*cosA
b^2+c^2=8
故b=c=2。