如图:已知AD是△ABC的角平分线,∠B=2∠c,求证AC=AB+BD
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在AC上取一点E，使AE＝AB。
∵AE＝AB、AD＝AD、∠EAD＝∠BAD，∴△EAD≌△BAD，∴ED＝BD、∠AED＝∠B。
∵∠B＝2∠C，又由三角形外角定理，有：∠AED＝∠C＋∠EDC，∴2∠C＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴BD＝EC。
显然有：AC＝AE＋EC，∴AC＝AB＋BD。
∵AE＝AB、AD＝AD、∠EAD＝∠BAD，∴△EAD≌△BAD，∴ED＝BD、∠AED＝∠B。
∵∠B＝2∠C，又由三角形外角定理，有：∠AED＝∠C＋∠EDC，∴2∠C＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴BD＝EC。
显然有：AC＝AE＋EC，∴AC＝AB＋BD。
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2024-10-13 广告
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