Question

设向量组a1,a2,a3线性无关。证明：向量组a1-a2-a3,a2-a3,a3也线性无关

设向量组a1,a2,a3线性无关。证明：向量组a1-a2-a3,a2-a3,a3也线性无关

Answer 1

假设a1-a2-a3,a2-a3,a3线性相关，则有不全为0的k1,k2,k3,使得k1(a1-a2-a3)+k2(a2-3)+k3a3=0;
即k1a1+(k2-k1)a2+(k3-k1-k2)a3=0;又a1,a2,a3线性无关，则k1=0,k2-k1=0,k3-k1-k2=0,即k1=k2=k3=0,与假设矛盾，所以假设不成立，所以a1-a2-a3,a2-a3,a3线性无关。

Answer 2

既然a1,a2,a3线性无关，就可以认为他们为基向量，即(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
然后再利用向量的加减法和反证法来证明就可以了啊
a1-a2-a3=(1,-1,-1),a2-a3=(0,-1,-1),a3=(0,0,1)
令a1-a2-a3=k(a2-a3)+m(a3）,推不出这样的k值和m值，所以题目的论点成立嘛

Answer 3

因为
α1=(α1-α2-α3)+(α2-α3)+2α3
，
α2=(α2-α3)+α3
，
α3=α3
，
这说明，这两个向量组可以互相
线性表
出，
因此它们等价，秩相等，
所以
α1-α2-α3，α2-α3，α3
也
线性无关
。