Question

二项式的展开式第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列

指数为n求n

Answer 1

也就是
Cn8，Cn9，Cn10成
等差数列
（这里n在下标的位置，8，9,10在
上标
的位置，表示
组合数
）
也就是2Cn9=Cn8+Cn10，即2n！/[（n-9）！9！]=n！/[(n-8)!8!]+n!/[(n-10)!10!]
约去n！，然后右边
分母
化为[（n-9）！9！]得，
2/[（n-9）！9！]=[9/（n-8）
+
（n-9）/10]/[（n-9）！9！]
也就是2=9/（n-8）
+
（n-9）/10，亦即20（n-8）=90+（n-9）（n-8）
所以n²-37n+322=0，所以n=23或14

Answer 2

展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则
2c(n
9)=c(n
8)+c(n
10)
2×[n×(n-1)×...×(n-8)]/(9×8×...×1)=n×(n-1)×...×(n-7)/(8×7×...×1)+n×(n-1)×...×(n-9)/(10×9×...×1)
整理，得
n²-37n+322=0
(n-14)(n-23)=0
n=14或n=23