Question

将函数f（x）=x?arctanx2展开成x的幂级数，并求级数∞n＝1(?1)n2n+1的和

将函数f（x）=x?arctanx2展开成x的幂级数，并求级数∞n＝1(?1)n2n+1的和．... 将函数f（x）=x?arctanx2展开成x的幂级数，并求级数∞n＝1(?1)n2n+1的和． 展开

Answer 1

因为（arctanx2）′=2x1+x4=2∞
n＝0(?1)nx4n+1，
利用幂级数的逐项求积性质，可得
arctanx2=∞
n＝0(?1)nx4n+22n+1，
从而可得，
f（x）=xarctanx2=∞
n＝0(?1)nx4n+32n+1．
将x=1代入可得，
∞
n＝1(?1)n2n+1=f（1）=arctan1=π4．