Question

在四棱锥p-abcd中,pd⊥底面abcd,底面abcd为正方形,pd=dc

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC=2,G,F分别是AD,PB的中点
（1）求证：PA⊥CD
（2）证明：GF⊥平面PCB
（3）求二面角A-PB-C的大小

Answer 1

(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD,又AD⊥CD,∴CD⊥AP,
          ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA
      (2)取PC的中点M.连接GF,FM,DM,GD=1/2AD,∵点F,M分别为PB,PC的中点
      ∴FM=1/2BC,且FM//BC//GD,∴FM//GD,且FM=GD,故四边形DGFM为平行四边形
      ∴GF//DM
         RT三角形PDC,PD=DC,PM=MC,∴DM⊥PC,
     DM在平面ABCD的射影在CD上而BC⊥CD,∴DM⊥BC
    ∴DM⊥平面PBC,∴GF⊥平面PCB
(3)连接A,过点C作CN⊥PB,连接AN.
∵DB是PB在平面ABCD内的射影且AC⊥DB
∴AC⊥PB,∴PB⊥平面ANC,∴PB⊥AN,故∠ANC即为所求角
RT△ABC内AC=√2AB=2√2.RT△PBC内,PC=√2PD=2√2.BC=2.
CN=PC*BC/PB=2√6/3
同理可得AN=2√6/3
∴cos∠ANC=-1/2,∴∠ANC=120°,即所求角为120°.