Question

设函数f(x)=1/xlnx(x>0且x≠1)(Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)已知 对任意 成立,

设函数 f(x)= 1 xlnx （x＞0且x≠1） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知 2 1 x ＞ x a 对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f ′ (x)=- lnx+1 x 2 ln 2 x ，若f′（x）=0，则 x= 1 e 列表如下 x (0， 1 e ) 1 e ( 1 e ，1) （1，+∞） f′（x） + 0 - - f（x） 单调增 极大值 f( 1 e ) 单调减 单调减 （Ⅱ）在 2 1 x ＞ x a 两边取对数，得 1 x ln2＞alnx ，由于0＜x＜1，所以 a ln2 ＞ 1 xlnx （1） 由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时， f(x)≤f( 1 e )=-e ， 为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当 a ln2 ＞-e ，即a＞-eln2