不等式证明题 设b≠a,证明|arctanb-arctana|≤|b-a| .
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设b>a,则原命题为证arctanb-arctana≤b-a
f(x)=arctanx在[a,b]连续,且在(a,b)可导,
由拉格朗日中值定理可知,存在一点ξ(a<ξ<b),使得
f'(ξ)=1/(1+ξ^2)=(arctanb-arctana)/(b-a)
1/(1+ξ^2)≤1
∴(arctanb-arctana)/(b-a)≤1
即arctanb-arctana≤b-a
当b<a时同理可证
命题得证</a时同理可证
</b),使得
f(x)=arctanx在[a,b]连续,且在(a,b)可导,
由拉格朗日中值定理可知,存在一点ξ(a<ξ<b),使得
f'(ξ)=1/(1+ξ^2)=(arctanb-arctana)/(b-a)
1/(1+ξ^2)≤1
∴(arctanb-arctana)/(b-a)≤1
即arctanb-arctana≤b-a
当b<a时同理可证
命题得证</a时同理可证
</b),使得
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