Question

在三角形ABC中,求证a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a

如题

Answer 1

证明:由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以：c(cosB/b-cosA/a)
=c{[(a^2+c^2-b^2)/2ac]/b-[(b^2+c^2-a^2)/2bc]/a}
=(a^2+c^2-b^2)/2ab-(b^2+c^2-a^2)/2ab
=(2a^2-2b^2)/2ab
=(a^2-b^2)/ab
=a/b-b/a

Answer 2

根据正弦定理
a/b-b/a-c(cosB/b-cosA/a)
=(sinA^2-sinB^2-sin(A+B)*(cosBsinA-cosAsinB))/(sinAsinB)
=(sinA^2-sinB^2-sinA^2cosB^2+cosA^2sinB^2)/(sinAsinB)
=(sinA^2-sinB^2-sinA^2+sinA^2sinB^2+sinB^2-sinB^2sinA^2)/(sinAsinB)
=0/(sinAsinB)
=0
a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a)