Question

矩阵有哪几种特殊分解

Answer 1

矩阵分解
(decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD(奇异值)分解等，常见的有三种:1)三角分解法 (Triangular
Factorization)，2)QR
分解法
(QR
Factorization)，3)奇异值分解法
(Singular
Value
Decomposition)。
下面分别简单介绍上面三个分解算法：
1、三角分解法
三角分解法是将原正方
(square)
矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)
的上三角形矩阵和一个
下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求逆矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同
的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
MATLAB以lu函数来执行lu分解法，
其语法为[L,U]=lu(A)。
2、QR分解法
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
MATLAB以qr函数来执行QR分解法，
其语法为[Q,R]=qr(A)。
3、奇异值分解法
奇异值分解
(singular
value
decomposition,SVD)
是另一种正交矩阵分解法;SVD是最可靠的分解法，但是它比QR
分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。
和QR分解法相同，
原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执行svd分解法，
其语法为[S,V,D]=svd(A)。