Question

求不定积分∫e^xsin^2xdx

Answer 1

∫
e^xsin²x
dx
=(1/2)∫
e^x(1-cos2x)
dx
=(1/2)e^x
-
(1/2)∫
e^xcos2x
dx
(1)
下面计算:
∫
e^xcos2x
dx
=∫
cos2x
d(e^x)
分部积分
=e^xcos2x
+
2∫
e^xsin2x
dx
=e^xcos2x
+
2∫
sin2x
d(e^x)
再分部积分
=e^xcos2x
+
2e^xsin2x
-
4∫
e^xcos2x
dx
将
-4∫
e^xcos2x
dx
移项与左边合并后除以系数
得:∫
e^xcos2x
dx
=
(1/5)e^xcos2x
+
(2/5)e^xsin2x
+
C
将上式代入(1)得
∫
e^xsin²x
dx
=
(1/2)e^x
-
(1/10)e^xcos2x
-
(1/5)e^xsin2x
+
C
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