Question

这道题怎么做 高数？

Answer 1

I=∫sin(sinx)dx,J=∫cos(cosx)dx, 积分区间都是0到½看不太清楚，比较I,J1之间的大小关系:答案是(A)

①首先看到sinx,cosx在0到½的图像，0<sinx<sin½<½<1,1>cosx>cos½>½>0，sinx在0到½上导数小于1，增长比x慢；cosx则大于-1，减少得比-x慢

进一步比较在0到½上，∵sin(sin½)<sin½<½<cos1，

∴max{sin(sinx)}=sin(sin½)<min{cos(cosx)}=cos(cos0)=cos1，

∴sin(sinx)<cos(cosx),0<x<½

∴0<I<J

然后比较J和1的关系，得cos(cosx)≤cosx,两边做从0到½的定积分，得J<sin½<1

∴I<J<1

②所以结论是选(A)

③千万不要试图求积分表达式，因为题目所给的sin(sinx),cos(cosx)并非初等函数，并非初等函数加减乘除乘幂开方的结果

④使用数值计算方法验证想法

I≈0.120,J≈0.287,I<J <1成立

import scipy.integrate;

from numpy import sin,cos;

f= lambda x:sin(sin(x));

g= lambda x:cos(cos(x));

i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1/2);

j = scipy.integrate.quad(g, 0, 1/2);print (i," sin\n", j, " cos");