下面这个二元函数极限存在吗?如果存在怎么证明?

是重极限... 是重极限 展开
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arongustc
科技发烧友

2020-09-20 · 智能家居/数码/手机/智能家电产品都懂点
知道大有可为答主
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存在,分三种情况证明
当x=y时,显然lim (x+y)/根号(x^3 +y^3) = lim 2x/根号(2x^3) =0
当x<y时,lim (x+y)/根号(x^3 +y^3) = lim [(x/y) /y^(1/2) + 1/y^(1/2)]/根号(1+(x/y)^(3/2) >= lim [(x/y) /y^(1/2) + 1/y^(1/2)]/根号(2) =0

lim [(x/y) /y^(1/2) + 1/y^(1/2)]/根号(1+(x/y)^(3/2) <= lim [(x/y) /y^(1/2) + 1/y^(1/2)]/根号(1) =0

当x>y时证明和第二种一样
迷路明灯
2020-09-20 · TA获得超过2.2万个赞
知道大有可为答主
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令y=kx,
lim=lim(1+k)/√(1+k³)x
因为x.y都趋于+∞,所以k≠-1,所以lim=0,存在
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1269873302
2020-09-24 · TA获得超过362个赞
知道小有建树答主
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A = (x+y)/(x^3+y^3)^0.5

A^2 = (x+y)^2/(x^3+y^3)
=(x+y)^2/[(x+y)(x^2-xy+y^2)]
=(x+y)/((x-y)^2+xy)
<=(x+y)/xy=1/x+1/y
0=<A<=(1/x+1/y)^0.5
夹逼 极限=0
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