Question

请教两道线性代数的题~~

如图，感谢各位高手~~~

Answer 1

⑴，M实对称。有正交矩阵P:P′MP＝D（λ1,λ2） [以λ1,λ2为对角元的对角阵]

① λ1≥λ2＞0：M正定。X′MX≥0.

X′MX＝X′PD（λ1,λ2）P′X＝X′P[D（λ1,λ1）-D（0,λ1-λ2）]P′X

＝X′PD（λ1,λ1）P′X-X′PD（0,λ1-λ2）P′X≤λ1X′X.

[注意PD（0,λ1-λ2）P′半正定，X′PD（0,λ1-λ2）P′X≥0]

② λ＝0，对应特征向量X≠0,MX＝λX＝0X＝0

③λ1>0,λ2<0.M不定，存在降秩A.M＝A′A, A降秩,方程组AX＝0有非零解X≠0

X′MX＝X′A′AX＝（AX）′AX＝0′0＝0[注意三个0的意思不同]

④从①②③，用排除法，一定两个特征值皆正。

⑵ 设M＝
╱ a b ╲
╲ c d ╱,则|λE-M|＝0成为：
▏λ-a -b ▏
▏-c λ-d ▏＝0.即：

λ²-（a+d）λ+ad-bc＝0. a+d＝trM.ad-bc＝detM

∴特征方程λ²-trMλ+detM＝0