Question

求函数y=x-lnx，x属于（2,3）的最值

Answer 1

补充完毕
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求函数导数，f'(x)=e^x-1/x
e^x=1/x时，f(x)取到最值。因为f'(x)在(0，正无穷)上单调递增，f'(1/2)<0，f'(1)>0，因此x取(1/2，1)内的某一个值时，f(x)取到最小值。
因此函数f(x)=e^x-lnx在e^x=1/x时取到最小值。而e^x=1/x的解不必求，设解为m，可以直接将式子e^m=1/m代入f(m)=e^m-lnm进行计算。
f(m)=e^m-lnm=1/m-ln(e^-m)=1/m+m
因为e^x=1/x的解m在(1/2,1)的范围内，而函数y=1/x+x在(1/2,1)上单调递减。故1/m+m<2+1/2=5/2且>1/m
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m=2(x不等1，等号取不到)。故选C。
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“如何解释f(x)=1/x+x,这是在最小值的情况下才存在这个等式,也就是说它不应该是一个函数”，此句正确，因此为了避免混淆我在上面用f(m)=1/m+m来表示。m应该是个确定值，但我们不知道它的值如何，只知道它的大致范围(1/2,1)。因此对应的函数值f(m)我们也就只能知道它的大致范围，而不能确定其值(题目也是这么要求的)，虽然f(m)的值是一个确定的数。
所谓的“f(x)=1/x+x”应该是根据f(m)=1/m+m构造的一个新函数，此时就不应该用f来表示，以免和原式冲突，应该改为g(x)=1/x+x。
那么接下来就是分析“g(x)=1/x+x中，x的取值范围是(1/2,1)，那么g(x)的取值范围是多少？”的问题了。