Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线l为圆O:x^2+y^2=b^2的一条切线

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线l为圆O:x^2+y^2=b^2的一条切线,且经过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e (1)若直线l的倾斜角为π/6，求e的值 (2)是否存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点在椭圆C上?若存在，请求出e的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

显然圆内切于椭圆，连接O与切点，则sin(π/6)
=
1/2
=
b:c，∴c^2/a^2
=
4/5，∴e
=
2/根5
2)
由题干，切线经过焦点，因此c>b，∴b^2
>
a^2
/
2
，∴b
>
a/根2
，∴2b
>
a
*
根2
假设存在符合条件的对称点，则它与O的连线⊥切线l，∴O与该点的距离
=
2b
>
a
*
根2，
这与“O到椭圆周最长距离为半长轴长”矛盾，∴不存在符合条件的对称点，也不存在这样的e