Question

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex （其中a∈...

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex （其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f（x）＞（x-1）（12x2+x+1）．

Answer 1

解：∵函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex，
∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，
∵x=0为f（x）的极值点，
∴f′（0）=ae0=0，解得a=0．
检验，当a=0时，f′（x）=xex，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．
∴x=0为f（x）的极值点，故a=0．
当a=0时，f（x）＞（x-1）（12x2+x+1）⇔（x-1）•ex＞(x-1)(12x2+x+1)，
整理得（x-1）[ex-(12x2+x+1)]＞0，
即x-1＞0ex-(12x2+x+1)＞0或x-1＜0ex-(12x2+x+1)＜0
令g（x）=ex-(12x2+x+1)，h（x）=g′（x）=ex-（x+1），h′（x）=ex-1，
当x＞0时h′（x）=ex-1＞0；当x＜0时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0．
即g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，g（0）=0．
故ex-(12x2+x+1)＞0⇔x＞0；ex-(12x2+x+1)＜0⇔x＜0．
∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．