Question

二重积分中区域D关于x=a对称，∫∫(x-a)dxdy=0为什么？

如果可以的话请画图解答一下万分感谢

Answer 1

作变换u=x-a,
二重积分中区域D关于x=a对称
等价于二重积分中区域D1关于u=0对称,
∫∫<D>(x-a)dxdy
=∫∫<D1>ududy
可表示为∫<a,b>dy∫<-c(y),c(y)>udu,
其中∫<-c(y),c(y)>udu是奇函数的积分，其值为0，故上式=0.

Answer 2

可以借助二重积分的几何意义来理解，可以理解为曲顶柱体的体积
底面关于x=a对称，高x-a一半是正h，一半是负h，所以总体积就是0

Answer 3

这玩意没法画图，让你慢慢体会吧

这个按照定积分定义证明，首先对D进行对称划分，在x=a左侧位于(x0,y0)的一个小微元dσ，在x=a右侧对称位置(2a-x0,y)有一个对应的微元dσ,根据二重定积分定义，定积分=
sum[(x0-a)dσ + (2a-x0-a)dσ]
=sum[(x0-a+2a-x0-a)dσ] =0得证

Answer 4

轮换对称性，