Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=...

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足cn=abn，求数列{cn}的前n项和Tn； （3）在（2）的条件下，数列{cn}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．
当n=1时，a1=S1=1亦满足上式，
故an=2n-1，（n∈N*）．
又数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵b1=1，b4=b1q3=8，∴q=2．
∴bn=2n-1（n∈N*）．
（2）cn=abn=2bn-1=2n-1．
Tn=c1+c2+c3+…cn=（21-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（21+22+…2n）-n=2(1-2n)1-2-n．
所以 Tn=2n+1-2-n．
（3）假设数列{cn}中存在三项cm，ck，cl成等差数列，不妨设m＜k＜l（m，k，l∈N*）
因为 cn=2n-1，
所以 cm＜ck＜cl，且三者成等差数列．
所以 2ck=cl+cm，
即2（2k-1）=（2m-1）+（2l-1），
变形可得：2•2k=2m+2l=2m（1+2l-m）
所以 2k+12m=1+2l-m，即2k+1-m=1+2l-m．
所以 2k+1-m-2l-m=1．
因为m＜k＜l（m，k，l∈N*），
所以 2k+1-m，2l-m均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{cn}中不存在三项，使得这三项成等差数列．