讨论函数f(x)=ax/x²+1(a∈R,且a≠0)在区间(-1,1)上的单调性。求详细解答

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沙湃泰绮云
2020-05-28 · TA获得超过3870个赞
知道大有可为答主
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你学了偶函数或者导数没有
追问:
自学
不知道怎么解
回答:
导数法:该函数导数等于(分子的导数乘以分母-分母的导数乘以分子)/分母的平方,用字母表示是:(u/v)'=(u'v-uv')/v²,故整理该公式得该函数导数为(aX^2+a-2aX^2)/(X^2+1)^2=(a-aX^2)/(X^2+1)^2,当a>0时该导数在(-1,1)上恒大于0,此时原函数在该区间上递增,当a<0是时该导数在(-1,1)上恒小于0,此时原函数在该区间上递减。
追问:
那用偶函数呢?
回答:
函数奇偶性法:该函数明显为奇函数,奇函数的函数图像几何特征就是图像关于原地对称,故关于原点对称的两个区间单调性相同,所以只要分析(0,1)的情况,此时可以用基本不等式求解,X^2+1不小于2X且等号在X=1时成立(X=-1的情况已经排除因为-1不属于0到1的区间),代入原函数得原函数的最值是a/2,又原函数在X=0处时函数值为0,当a为正数时,易知原函数在(0,1)上递增,当a为负数时,同知原函数在(0,1)上递减,综合函数奇偶性性质得原函数在(-1,0)(0,1)上要么都递增(a>0),要么都递减(a<0).
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