Question

一个点在三维坐标系对于一个平面它的对称点怎么求

如何快速求一个点关于一条直线的对称点的坐标?(二维)以此类推:如何快速求一个点关于一条平面的对称点的坐标?(三维)

Answer 1

求一条直线对称点的坐标的解题方法：
①设所求对称点A的坐标为(a，b)。
②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。举例：
①已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标。
②设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1
AB斜率：b-1/a+2=1 (2）
③联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3所以该点的坐标为（0，3）

扩展资料：

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：

唯一解：
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解

有无数组解：
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
又如：x+(y-x)=y①
y+(x-y)=x②

无解：
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②，
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

Answer 2

可以通过解方程。比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为$(x_1,y_1)$那么我们知道向量$(x_1-x_0,y_1-y_0)$同直线垂直，由此得到$(x_1-x_0)B-(y_1-y_0)A=0$另外我们知道两点中点在直线上，得到$A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0$解方程组可以得到$x_1,y_1$.同样对于三维情况类似