Question

请教各位一个高数里三阶微分方程的问题，请问图中这个例子λ2和λ3是怎么求的呢？

Answer 1

【求法一】λ³＝1 等价于：
λ³-1＝0，
(λ-1)(λ²+λ+1)＝0，
λ-1＝0 或 λ²+λ+1＝0，
由上面第一个方程可得 λ1＝1，
第二个方程的判别式 Δ＝1²-4＝-3＜0，
所以它有两个虚根：
λ2,3＝(-1±i√-Δ)/2＝-1/2±(√3/2)i .
【求法二】因为 1＝cos0+isin0，
所以，λ³＝1在复数范围内的三个根为
cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3) (k＝0,1,2)，即
λ1＝cos0+isin0＝1，
λ2＝cos(2π/3)+isin(2π/3)＝-1/2+(√3/2)i,
λ3＝cos(4π/3)+isin(4π/3)＝-1/2-(√3/2)i.