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第一题是齐次方程，分离变量求解
第二题是非齐次方程，通解是齐次通解加非齐次特解，推导方法是常数变易法
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谢谢大佬
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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（1）设y/x=t，y=tx，dy=xdt+tdx，dy/dx=xdt/dx+t，y'=xt'+t
代入：xt'+t=e^(-t)+t
xt'=e^(-t)
（e^t)dt=(1/x)dx
e^t=lnx+C=ln(Dx)
t=ln(ln(Dx))
y=xln(ln(Dx))
(2)y'+y=e^(-x)
齐次方程y'+y=0
y'=-y
dy/y=-1dx
lny=-x+C1
y=D1e^(-x)
D1是常数。
变常数法：
y'=D1'e^(-x)-D1e^(-x)
代入原方程：
D1'e^(-x)-D1e^(-x)+D1e^(-x)=e^(-x)
D1'=1
D1=x+D2
y=（x+D2）e^(-x)
代入：xt'+t=e^(-t)+t
xt'=e^(-t)
（e^t)dt=(1/x)dx
e^t=lnx+C=ln(Dx)
t=ln(ln(Dx))
y=xln(ln(Dx))
(2)y'+y=e^(-x)
齐次方程y'+y=0
y'=-y
dy/y=-1dx
lny=-x+C1
y=D1e^(-x)
D1是常数。
变常数法：
y'=D1'e^(-x)-D1e^(-x)
代入原方程：
D1'e^(-x)-D1e^(-x)+D1e^(-x)=e^(-x)
D1'=1
D1=x+D2
y=（x+D2）e^(-x)
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