Question

三重积分什么时候用先一后二，什么时候用先二后一呢？

Answer 1

对积分区域是圆锥体，椭圆面，,球体，柱体三个的组合，积分函数是除先积2的那两个的另外一个的时候，一般的情况就是，积分函数能化为只含Z的，积分区域是以上的组合，就用先2后1。

1. 设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri(i=1，2,3..n)，体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f(ξi，ηi，i)。

2. 作和式Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，dV=dxdydz。

3. 设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n)并以Δvi表示第i个子域的体积。

4. 在Δvi上任取一点(ξiηiζi)作和(n/i=1 Σ(ξiηiζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记∫∫∫f(x,y,z)dv。