Question

高数里的求极限 急！

钩出来的第五题！！

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

这个极限是不存在的。关键是找出趋向于(0,0)的不同路径，然后极限不同。

特别说明：我这个做法是错误的，第一位回答的是正确的。非常感谢评论者指出我的做法的错误。我对我给出的曲线仔细研究，发现这条曲线不经过原点。

这是x³+y³=5(x²+y²)的曲线。

在此，对本人的错误做出深深的检讨。

Answer 3

第五题累次极限存在，但是二重极限不存在
由
x^3+y^3＝(x+y)(x^2+y^2-xy)得该极限为
lim(x+y)(x^2+y^2-xy)/x^2+y^2 ＝(x+y)-xy/x^2+y^2＝-xy/x^2+y^2 当x＝y时该极限为-1/2但是若设y＝3x则该极限等于x^3(1+27)/x^2(1+9)＝0 两者不等，固不存在
但是将x视作变元y视作常量，当x趋近0时极限为y，y趋近于0得极限为0。同理x视作常量y视作变元亦得0，所以其累次极限存在为0
关于累次极限与重极限存在的关系为某一n变元函数f(x1，x2.....xn)，在x1，x2....xn同时取极限时得到的f的极限为重极限，而当自变量x1，x2....xn不是同时取极限，而是依某一顺序相继取极限时，f的极限为累次极限。
当重极限存在时，累次极限一定存在并等于重极限，反之则不然。
判断二重极限是否存在的方法是令x和y两者对应不同的多项式函数y＝f(x)和y＝g(x) (这两个函数必过原点且两多项式互素https://wapbaike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F?)后，将其代入极限判断如果所得极限不等则重极限不存在，相等则重极限存在
求重极限的常用方法有：
1.利用极限性质(四则运算法则，夹逼原理)
2.消去分母中极限为零的因子(有理化，等价无穷小代换)
3.利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量。