Question

在△ABC中，已知角A、B、C．所对的边分别是a、b、c，边c= 7 2 ，且tanA+tanB= 3

在△ABC中，已知角A、B、C．所对的边分别是a、b、c，边c= 7 2 ，且tanA+tanB= 3 - 3 tanA．tanB，又△ABC的面积为 S △ABC = 3 3 2 ，求a+b的值．

Answer 1

解：由tana+tanb=3
tana•tanb－3
可得
＝－3
即tan(a+b)=－3
∴tan(π－c)=
－3
,
∴－tanc=－3
,
∴tanc=3
∵c∈(0,
π),
∴c=
又△abc的面积为s△abc=332
，∴12
absinc=332
即12
ab×32
=332
,
∴ab=6
又由余弦定理可得c2=a2+b2－2abcosc
∴(72
)2=
a2+b2－2abcos
∴(72
)2=
a2+b2－ab=(a+b)2－3ab∴(a+b)2=1214
,
∵a+b>0,
∴a+b=112

Answer 2

∵tanA+tanB=
3
-
3
tanAtanB，
∴
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
3
，即tan（A+B）=
3
，
∴tan（π-C）=
3
，即tanC=-
3
，
∵C为三角形的内角，
∴C=
2π
3
，
∵S
△ABC
=
1
2
absinC=
1
2
ab×
3
2
=
3
3
2
，∴ab=6，
由余弦定理c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC得：（
7
2
）
2
=a
2
+b
2
-2abcos
2π
3
，
∴a
2
+b
2
+ab=（a+b）
2
-ab=（a+b）
2
-6=
49
4
，即（a+b）
2
=
73
4
，
∵a+b＞0，
∴a+b=
73
2
．