Question

一道高数题追加50分求助

求解这道极限

Answer 1

用泰勒级数展开解答如下

Answer 2

1.关于这一道高数题，第四题说明见上图。 2.这一道高数题，第四题对x求偏导时，x是变量y是常数。就是一元函数求导问题。 3.对x求偏导数时，可以将y先代入，也可以不代入，结果是一样的，因为此时y都看成是常数。

Answer 3

分母
x->0
ln(1+x) = x+o(x)
√(1+x^2)= 1+(1/2)x^2+o(x^2)
x+√(1+x^2)= 1+x+o(x)
ln[x+√(1+x^2)]
=ln[1+x+o(x)]
=x+o(x)
ln(1+x).ln[x+√(1+x^2)] =x^2+o(x^2)
分子
ln(1+x)=x -(1/2)x^2+o(x^2)
x+√(1+x^2)= 1+x+(1/2)x^2 +o(x^2)
ln[x+√(1+x^2)]
=ln[1+x+(1/2)x^2 +o(x^2)]
=[x+(1/2)x^2 +o(x^2)] -(1/2)[x+(1/2)x^2 +o(x^2)]^2+o(x^2)
=[x+(1/2)x^2 +o(x^2)] -(1/2)[x^2+o(x^2)]+o(x^2)
=x+o(x^2)
ln(1+x) -ln[x+√(1+x^2)]
=[x -(1/2)x^2+o(x^2)] -[x+o(x^2)]
=-(1/2)x^2+o(x^2)
lim(x->0) { ln(1+x) -ln[x+√(1+x^2)]} / { ln(1+x).ln[x+√(1+x^2)]}
lim(x->0) -(1/2)x^2 /x^2
=-1/2