Question

怎么判断e^ax在0到正无穷积分的敛散性？

Answer 1

解:(1)若a=0，∫(0,+∞) e^(ax)dx=∫(0,+∞) dx=x |(0,+∞)=+∞，即发散；
(2)若a≠0，∫(0,+∞) e^(ax)dx=(1/a)∫(0,+∞) e^(ax)d(ax)=(1/a)e^(ax) |(0,+∞)
如果a＞0，(1/a)[e^(+∞)-e^0]=+∞，所以，该积分是发散；
如果a＜0，(1/a)[e^(-∞)-e^0]=-1/a，所以，该积分收敛。
综上所述，a≥0时，积分发散；a＜0时，积分收敛。

Answer 2

I = ∫<0, +∞> e^(ax) dx
a = 0 时， I = ∫<0, +∞> dx = +∞， 积分发散；
a ≠ 0 时， I = (1/a)∫<0, +∞> e^(ax) dax = (1/a)[e^(ax)]<0, +∞>
其中 a > 0 时， I = +∞, 积分发散；
a < 0 时， I = -1/a, 积分收敛。
故 a ≥ 0 时， 积分发散 ； a < 0 时, 积分收敛。