Question

x1=1,xn=1/xn-1+1,证明极限limxn

求数列极限和极限存在准则的应用 设x1=1,x(n+1)=1+(xn/(1+xn)(n=1,2,.),.求limxn,n到无穷.只求具体证明过程. 极限不是二，看看上面的解答

Answer 1

x1=1

x（n+1）=1/（1+xn,）

x(n+1)(1+xn)=1

设 x-->无穷大，xn的极限存在

limxn=A

则limx（n+1)=A

故lim x(n+1)(1+xn)=A（1+A）=1

A^2+A-1=0

(A+1/2)^2=5/4

∵ A>=0

∴ A=(√5-1)/2

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

x1=1,x2=1+1/2=3/2>x1
x2x1,由
归纳法
,x(n+1)-xn>0,数列xn
单增
有界,极限存在,设为a
在x(n+1)=1+(xn/(1+xn)两边取极限得：
a=1+a/(1+a)
即：a^2-a-1=0,
解得：a=(1+√5)/2