Question

高数有关泰勒公式的疑问，若能解答，十分感激！

Answer 1

这个肯定是相同的，但是验证是非常麻烦的
对于复合函数f(g(x))，如果f(x)是可以泰勒展开的，g(x)是多项式的情况，理论上两种方法必然得到一个统一的泰勒展开式（泰勒展开式唯一性定理决定），但是最直接的方法就是用图中的变量代换

我们举个例子，f(x)=e^x, g(x)=-x^2/2，我们考虑2次项
按照变量代换方法很简单，f(g(x))的展开式二次项=-x^2/2
那么用你的方法，我们就必须对f(g(x))求二次导数
y'=df(g(x))/dx = e^x (-x)=-xe^(x)
y''=d^2f(g(x))/dx^2 = d-xe^(x)/dx = -e^x -xe^x =-(1+x)e^x
y''(0)=-1
那么根据泰勒公式y的二阶泰勒项就是-1 * x^2/2 = -x^2/2
这种相等性是有理论严格支撑的，而你只是根据直觉觉得他们肯定不等，这是很不科学的

Answer 2

是相同的，可以验证，如果f(x)是可以泰勒展开的，g(x)是多项式的情况，理论上两种方法必然得到一个统一的泰勒展开式（泰勒展开式唯一性定理决定），但是最直接的方法就是用图中的变量代换
。

Answer 3

泰勒公式
f(u) = e^(u)=1+u + (1/2)u^2+.....
那是一个函数 ， 函数的变数由 u 变成 -x^2/2 ，有什么问题，跟求不求导，有什么关系？

追问

追答

f(u)= f(0) +f'(0)u/1! +f''(0)u^2/2!+....
f'(u) = d/du (f(u))
u=-x^2/2
相对于
d/d(-x^2/2) f (-x^2/2)

Answer 4

变量代换和直接对复合函数泰勒展开，得到的结果是一样的

追问

怎么能是一样的呢？你可不可以写一个让两个展开对比一下😣

追答

你可以看一下教材上“泰勒展开的唯一性定理”
若f(x)在x->x0时，能够写成f(x)=a0+a1*(x-x0)+...+an*(x-x0)^n+o[(x-x0)^n]，则一定有
ai=f^(i)(x0)/i!，其中i=0,1,2,...,n
回到你的问题上来，因为e^y=1+y+(y^2)/2!+...+(y^n)/n!+o(y^n)
令y=(x^2)/2，则
e^[(x^2)/2]=1+[(x^2)/2]+...+{[(x^2)/2]^n}/n!+o{[(x^2)/2]^n}
=1+(1/2)*x^2+...+[1/(n!*2^n)]*x^(2n)+o[x^(2n)]
根据泰勒展开的唯一性定理
上式即为e^[(x^2)/2]在x=0处的2n阶泰勒展开式

Answer 5

前提是x趋近于无穷小。