Question

若函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是

Answer 1

函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域均为[m,n],
函数f(x)=a^x(a>1)又是单调增
故f(m)=m,f(n)=n,
说明m,n是方程f(x)=x有两个不同的解
所以函数f(x)=a^x(a>1)与函数y=x有两个交点
即过原点且与函数f(x)=a^x(a>1)的切线斜率大于1
设切点坐标（x0,yo),切点处的斜率为k.
k=y0/xo=a^x0lna,
a^x0/x0=a^x0lna,
x0=loga e,
k>1,a^loga elna>1,
lna>1/e=lne^1/e
a>e^1/e