Question

己知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=2/3an+1十1/3an，求an

Answer 1

因：a（n+2）=2/3a（n+1）+1/3an 所以：a（n+2）=a（n+1）-1/3a（n+1）+1/3an a（n+2）-a（n+1）=-1/3[a（n+1）-an] 即：[a（n+2）-a（n+1）]/[a（n+1）-an]=-1/3 设：数列bn=a（n+1）-an b1=a2-a1=2-1=1 则数列bn是以b1=1为首项，公比q=-1/3的等比数列 所以其前（n-1）项的和为S(n-1）： S(n-1）=b1[1-(-1/3)^(n-1)]/[1- (-1/3)] S(n-1）=1x[1-(-1/3)^(n-1)]/[1+1/3] S(n-1）=3[1-(-1/3)^(n-1)]/4 又因：b1=a2-a1 b2=a3-a2 b3=a4-a3 ........ b（n-1）=an-a（n-1） 即：b1+b2+b3+...+b（n-1）=an-a1 又因：b1+b2+b3+...+b（n-1）= S(n-1） 所以：an-a1=3[1-(-1/3)^(n-1)]/4 an-1=3[1-(-1/3)^(n-1)]/4 an=3/4+1-3x(-1/3)^(n-1）/4 an=7/4-3/4x(-1/3)^(n-1） 所以： an=7/4-3/4x(-1/3)^(n-1）