Question

y=x^2的反函数是什么？

Answer 1

反函数是y=log2[x/(1-x)]

即1/y=(2^x+1)/2^x=1+1/2^x

1/2^x=1/y-1=(1-y)/y

2^x=y/(1-y)

x=log2[y/(1-y)]

所以反函数是y=log2[x/(1-x)]

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。