Question

设f(x)二次可微,f(0)=0,f'(0)=1,又(x/1+x)f'(x)=f''(x),求f(x)

Answer 1

这是一个常微分方程的问题：
将f'(x)设为y
则y'=f''(x)
[x/(x+1)]y=y'
即：dy/dx=[x/(x+1)]y
dy/y=dx*x/(x+1)
两边同时积分得
x-ln(x+1)=ln(y)
则y=exp(x)/(x+1)+c(c为常数）；(exp(x)表示e的x次方）
f'(0)=y(0)=1+c=1;
c=0;
则f'(x)=exp(x)/(x+1);
在对f'(x)积分得
f(x)=-exp(-1)*Ei(1,-x-1)