Question

空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别是BC、AD的中点,求CN与AM的夹角

Answer 1

由题意可知ABCD四点在空间组成一个正四面体.
作线段AB中点F、线段BD中点G,连接FG、MF、MG；再作线段FG中点H,连接MH、AH.
∵F、G、M分别为线段AB、BD、BC中点
∴FG//AD,MG//CD,FM//AC
且FG=MG=FM=BM=a/2,FH=GH=a/4；
∠AMB=90°,∠MFH=∠BFG=60°,∠AFG=120°.
∴平面FGM//平面ACD.
又∵N、H分别为线段AD、FG的中点.
∴MH//CN.
所求CN与AM的夹角即为AM与MH的夹角∠AMH.
在三角形ABC中,AM^2=AB^2-BM^2=a^2-(a/2)^2=3a/4,AM= √3a/2.
在三角形FGM中,MH^2=FM^2+FH^2-2FM*FH*cos∠MFH=(a/2)^2+(a/4)^2-2(a/2)*(a/4)*cos60°
=3a^2/16,MH= √3a/4.
在三角形AFH中,AH^2=AF^2+FH^2-2AF*FH*cos∠AFG=(a/2)^2+(a/4)^2-2(a/2)*(a/4)*cos∠120°
=7a^2/16,AH= √7a/4.
在三角形AHM中,cos∠AMH=(AM^2+MH^2-AH^2)/(2AM*MH)=(3a^2/4+3a^2/16-7a^2/16)/[2(√3a/2)(√3a/4)]=2/3,∠AMH=arcos(2/3)
故所求CN与AM的夹角为arcos(2/3).