Question

级数收敛的必要条件

Answer 1

级数收敛的必要条件：通项an趋于0。

一般的课本上在讨论正项级数的收敛判别法时会介绍比式判别法（达朗贝尔判别法）、根式判别法（柯西判别法）、柯西积分判别法以及拉贝判别法（Raabe判别法）。本文再补充介绍一些其他的判别法。

库默尔(Kummer)判别法

设, 是一个正项级数。做序列

若存在自然数使得成立，其中，则级数收敛;

若存在自然数使得且级数发散，则级数发散。

证明：(1) 不妨设对一切自然数都成立(想一想为什么？). 则

即

这说明是递减数列，因而存在极限。因此级数

收敛, 于是由比较判别法及(1)式可得级数收敛.

(2) 如果

则

因此以上诸式相乘可得

由比较判别法可知发散。

库默尔判别法的极限形式：

设

那么当时级数收敛；当时级数发散。

例1(达朗贝尔判别法).

令, 则

其中且设. 这时

如果, 则, 于是由库默判别法可知级数收敛；

如果, 则, 于是由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是达朗贝尔判别法。

例2(拉贝判别法).

令. 则

其中且设. 这时

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数收敛；

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是拉贝判别法。