Question

已知八位数ab666666能被2007整除,则ab=

Answer 1

ab=54.
设2位数ab为x,则八位数为1000000x+666666,于是有
1000000x+666666=0(mod2007),
514x+342=0(mod2007),514x=-342=1665(mod2007)
上式同余式求解等价于求下面不定方程
514x+2007y=1665
由上式解出x得
x=-4y+3+(49y+123)/514=-4y+3+k,
其中k=(49y+123)/514,514k=49y+123,
由上式解出y得
y=(514k-123)/49,
y=10k-2+(24k-25)/49=10k-2+k1
其中k1=(24k-25)/49,
49k1=24k-25,k=(49k1+25)/24
k=2k1+1+(k1+1)/24=2k1+1+k2
其中k2=(k1+1)/24,故k1=24k2-1,k=2k1+1+k2=49k2-1,
y=10k-2+k1=514k2-13,x=-4y+3+k=7245k2-180
故不定方程的解为x=-1999k2+54,y=514k2-13,其中k2是整数.
取k2=0得x=54.
故ab=54.