Question

齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的关系是什么？

Answer 1

非齐次线性方程组的任意两个解之差是对应的齐次线性方程组的解。

非齐次线性方程组的解与对应的齐次线性方程组的解之和还是非齐次线性方程组的解。

如果知道非齐次线性方程组的某个解X，那么它的任意一个解x与X的差x-X，一定是对应的齐次线性方程组的解，所以非齐次线性方程组的通解x=X+Y，Y是对应的齐次线性方程组的通解，而Y是某个基础解系的线性组合，Y=k1ξ1+k2ξ2+...+krξr。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

求解步骤：对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解。