Question

高等代数理论基础8：多项式函数

Answer 1

设 , ,

用 代x所得的数 称为f(x)当 时的值,记作

定义：可以由一个多项式来定义的函数称为数域P上的多项式函数

注：当P为实数域时,f(x)就是数学分析中讨论的多项式函数

定理：用一次多项式 除多项式f(x),所得余式为一个常数,这个常数等于函数值

证明：

推论： 是f(x)的根

定义：若f(x)在 时函数值 ,则称 为f(x)的一个根或零点

定义：若 是f(x)的k重因式,则称 为f(x)的k重根

当k=1时, 为单根,当 时, 为重根

定理：P[x]中n次多项式 在数域P中的根不可能多于n个,重根按重数计算

证明：

定理：若多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数 有相同的值,即 ,则f(x)=g(x)

证明：

注：

1.不同多项式定义的函数也不相同

2.若两个多项式定义相同的函数,则称为恒等

3.多项式的恒等与多项式相等一致