Question

a>1,b>1,且ab=a+b+3,求2a+3b的最小值

Answer 1

将ab=a+b+3移项得ab-a-b=3，即(a-1)(b-1)=4。根据因数分解，4的因数对为(1,4),(2,2)，因此可以得到a-1=1，b-1=4或者a-1=2，b-1=2。

解第一组方程，得a=2，b=5。则2a+3b=16。

解第二组方程，得a=3，b=3。则2a+3b=15。

因此，2a+3b的最小值为15，当且仅当a=3，b=3时取得。

Answer 2

根据方程ab=a+b+3，把a看成未知数，b为常数，解一元一次方程，得
a=(b+3)/(b-1)
a=(b-1+4)/(b-1)
a=1+4/(b-1)
代入2a+3b
2a+3b
=2+8/(b-1)+3b
=8/(b-1)+3b-3+5
=8/(b-1)+3(b-1)+5
≥2√[8/(b-1)·3(b-1)]+5
=4√6+5