Question

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直

（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置是，四边型ABCN面积最大？并求出最大面积

Answer 1

温习一下20年前的知识 呵呵
（1）上面的对了
2）梯形 面积 Y=（AB+CN)BC/2=(4+CN)*2
CN 解出
根据相似三角形
AB/BM=MC/CN
CN=MC*BM/AB=(4-X)*X=4X-X2(X2=X的平方)
CN 代入上式 可以得到Y=（20-(X-2)^2）/2
( （X-2）^2不可能为负数) 所以 当X-2=0时面积最大
面积为20/2=10

Answer 2

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时，即BC的中点
四边形ABCN面积最大，最大面积=10

Answer 3

①∵AM⊥MN，∴∠AMB+∠CMN=90°
在△AMB中，∠AMB+∠MAB=90°
∴∠MAB=∠NMC,又∠ABM=∠MCN=90°
∴△ABM∽△MCN

②△ABM∽△MCN
∴BM/CN=AB/MC
BC=AB=4,BM=x,MC=BC-BM=4-x
∴x/CN=4/(4-x)
∴CN=x(4-x)/4
∴梯形ABCN面积
y=(AB+CN)×BC/2
=[4+x(4-x)/4]×2
=-0.5x²+2x+8
=-0.5(x-2)²+10
∴y与x之间的函数关系式为y=-(1/2)x²+2x+8
当x=2，即M点运动到BC中点时，梯形ABCN面积最大为10

③
当Rt△ABM∽Rt△AMN时，
有AB/AM=BM/MN
得AB²/AM²=BM²/MN²
即16/(16+BM²)=BM²/[(4-BM)²+CN²]
∴BM²(16+BM²)=16[(4-BM)²+CN²]
BM=x,CN=x(4-x)/4
∴x²(16+x²)=16[(4-x)²+x²(4-x)²/16]
x²(16+x²)=(4-x)²(16+x²)
解得x=2
即M点运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN
此时x=2

Answer 4

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时，即BC的中点
四边形ABCN面积最大，最大面积=10

Answer 5

(1）
∵AM垂直MM
∴∠AMN=90°
∴∠AMB+∠NMC=90°
又∵∠B=∠C=90°
∠BAM+∠AMB=90°
∠CMN+∠MNC=90°
∴∠BAM=∠NMC
∴Rt△ABM∽Rt△MCN