Question

高中不等式问题

1/(2+x)+1/(2+y)=1/3,则xy的最小值？
x,y>0

Answer 1

若xy<0,则取x—>0，y—>-8

若题中有x、y>0，则
1/(2+x)+1/(2+y)=1/3
3(x+y)+12=xy+2(x+y)+4
xy-(x+y)-8=0
xy=x+y+8≥2sqrt(xy)+8;仅当x=y时，等号成立
于是 xy 的最小值是2sqrt(xy)+8
xy=2sqrt(xy)+8，xy=16;
即最小值为16

或

1/(2+x)+1/(2+y)=1/3,则有
3/(2+X)+3/(2+Y)=1.
令,3/(2+X)=sin^2a,3/(2+y)=cos^2a.
x=(3-2sin^2a)/sin^2a,
y=(3-2cos^2a)/cos^2a.
则有
XY=[(3-2sin^2a)/sin^2a]*[(3-2cos^2a)/cos^2a]
=[3+4(sina*cosa)^2]/[(sina*cosa)^2]
={3/[(sina*cosa)^2]}+4
=[12/sin(2a)]+4.
要使xy有最小值,sin(2a)就必须最大,而,sin(2a)最大=1.
则有,
xy最小=12+4=16.