Question

零点存在性定理是什么?

Answer 1

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)乘f(b）＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即存在c∈（a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

这是零点存在的充分条件，而不是零点存在的必要条件。

也就是说：‘零点存在性定理’的逆命题是假命题。

再说通俗一点：满足‘零点存在性定理’的条件时零点一定在区间（a，b）内存在；当函数在区间（a，b）内存在时，其端点的函数值的积不一定小于零。

一般结论：

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。

一般结论:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴(直线y=0)交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，推出函数y=f(x)有零点。

更一般的结论:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号(那个点函数值为零)。

不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号(那个点函数值为零)。

注意:如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。