初识数学大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）
目录
1 工作：广博精深
2 作为导师和教育家的为人和风格
3 修身齐家：作为子女、丈夫、父辈
4 柯尔莫哥洛夫和其他同辈理论家的交集
5 柯尔莫哥洛夫中学
6 致谢
7 参考文献/进一步阅读材料
数学大师柯尔莫哥洛夫是一个高尚、厚道的好人，“不修边幅的温厚的君子形象”（伊藤清语）。他不是希尔伯特（柯尔莫哥洛夫非常崇敬）那种缓慢型天才，而是聪敏中的最敏捷的那种。他的学生、Wolf奖得主Sinai：“…his enormous intellectual power and great energy…”。他是一个充满个人魅力的导师，培养了约70位博士，包括著名的盖尔方德、西奈、阿诺尔德、Levin（因NP获图灵奖；另外快排的发明人、图灵奖得主Hoare也曾是柯老的联合培养学生）、 奥布霍夫、莫宁等大师级别的学生，超过20位成了院士。
60年代中期开始（写完Kolmogorov complexity那篇文章左右），柯尔莫哥洛夫把精力和心血主要贡献给了数学教育，创办了著名的柯尔莫哥洛夫中学，亲自编写教材、授课（每周达到26小时），挖掘培养了大批高手，多人已成了院士，解决庞加莱猜想的佩雷尔曼就是这里的毕业生。
记得前几年看过一本小册子，丁玖老师在《混沌分形漫谈》一书中，把柯尔莫哥洛夫与我国的孔子相比。的确，他们都有若干位伟大的学生，几十位杰出的学生，成千上万受其教诲和影响的其他学生，都创办学校取得了成功。另外还有一点：都有非常强壮的体魄，战斗力惊人。
众所周知，柯尔莫哥洛夫研究领域宽广，几乎遍及一切数学领域（恰恰没有华罗庚先生最喜欢的数论），包括：概率论及随机过程、数理统计及其应用、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、动力系统与经典力学、信息论、混沌、函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、(武器的)火力理论、演算学与自动机、函数论、近似理论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等。他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、 化学、生物、地球物理大气物理、冶金学、晶体学、机器学习神经网络等等学科中都有极重要的应用。如果一个研究方向不够一些人口中的“高大上”，柯尔莫哥洛夫就可以凭一人之力把该领域脱胎换骨成体面的学科，并建立一个学派，带领其他人去播种、收获、扩建。
列一个表格，来感受一下什么叫广博精深：
要了解柯尔莫哥洛夫的工作，那么可以打开springer出版的三卷选集：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象；第二卷《概率论与数理统计》，涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限。物理系背景的，可以看看为了纪念柯尔莫哥洛夫百年诞辰出版的Kolmogorov's Heritage in Physics。其中Self-Similar Random Fields: From Kolmogorov to Renormalization Group 讨论了柯尔莫哥洛夫在动力系统方面的遗产对重整化群的影响。（Sinai：”Sometimes it is stressed that the powerful renormalization group method in statistical physics and quantum field theory that is based upon the idea of scale invariance has as one of its roots the Kolmogorov theory of turbulence ”）
业余看过很多科学家的回忆录，以及在博士期间的无数茶歇和组会中，从几位导师那里听到了更多的理论家的故事：有很多是高尚的导师，也有像父亲一般关怀弟子成长的，但我仍觉得柯尔莫戈洛夫与学生们之间的友爱温馨是老师-朋友-父亲的最佳叠加。
在柯大师的几十位学生中，现有超过20位成为了俄罗斯/苏联科学院的院士。
盖尔方德院士（Galfand，巨人级别，沃尔夫奖）：“数学是一个整体，这是科尔莫哥洛夫老师教给我的……数学仍能够被看成一个整体，这很大程度上归功于科尔莫哥洛夫。”
西奈院士（Sinai ，1956级，沃尔夫奖)回忆自己与老师Kolmogorov 1959年的一次旅行（还有同一级的Shiryaev（院士））：“……我们徒步行进了30公里，我问Andrei他是否累了，他回答说如果有点吃的，他可以再来一遍（当时柯尔莫哥洛夫56岁！）……我们之间的年龄差完全没有体现出来。好像我们在与同龄人旅行，只不过更有经验和充满好奇心。……当我们沿着大峡谷行进时，Kolmogorov教我们在山间水畔潜水。不久前，Alik Shiryaev成为了Kolmogorov在斯泰克洛夫研究所的同事。站在水边，Andrei对Alik说（当然是开玩笑）：跳进去，Alik，要不然我就炒了你。”
Sinai: “[KAM的工作中] 柯尔莫戈洛夫引入 quasi-regular 系统的概念，现在大家都称之为K-system。其实有段时间内，大家是用Kolmogorov system这个称呼的。但Kolmogorov自己倡导K-system这个简称。这是柯尔莫戈洛夫伟大的谦逊的例子之一，俄语中quasi-system拼写的首字母是K。”
Dynkin（1945级，后期到了美国，美国科学院院士）：“柯尔莫戈洛夫从来不在人面前说任何人的哪怕一句坏话。”
阿诺尔德（院士，沃尔夫奖)：“想听懂柯尔莫戈洛夫老师的课简直是不可能的，但它们充满了奇思妙想。”
阿诺尔德回忆KAM：“当Kolmogorov建议我自己选个题目时，我想一定要选一个跟他的工作完全正交的领域。这是非常困难的，因为他的工作涉及那么广博的领域。……我对着23个HIlbert问题，一个一个整理到笔记本上。其中第16问题，… If you write the Fourier series for the mapping of a circle equivalent to a rotation, you immediately get the problem of resonances and the small denominator problem for the rotation number…此时，Kolmogorov刚好在莫斯科大学开设了一门讲授哈密顿系统小分母技巧的课程，后来发展成现在的KAM理论。所以，我想自己完全独立做题目的尝试是彻底失败了（so my attempt to invent something independent was completely unsuccessful ）。”
阿诺尔德评价柯尔莫戈洛夫作为系主任和导师：
”柯尔莫戈洛夫老师度过了伟大而幸福的一生。
柯尔莫戈洛夫、庞加莱、高斯、欧拉、牛顿：五代人将我们与科学黎明时代分开来。
普希金曾经说过，尽管方式完全悬殊，但他对年轻人和俄罗斯民间文化的影响比整个教育部的影响更大。 柯尔莫戈洛夫对数学也有同样的影响。
我在学生时代就认识了安德烈·尼古拉耶维奇。 他当时是莫斯科大学数学与力学系的主任。 那时正是数力系和俄罗斯数学的全盛时期。 柯尔莫戈洛夫和Petrovskii院士的领导的首要的，数力系因此达到了以前从未达到过的强盛，以后也很难再达到了 。“
Nikolsky院士（柯大师早年的学生）：“我想，[科尔莫哥洛夫]所有的学生都会因为被这个伟大的数学家带到一起来而感到幸运，他又是如此秉持和看重不装腔作势、同情、公正。“
格涅坚科院士（Gnedenko）回忆说：“对于柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，与柯尔莫哥洛夫一起做研究的岁月是终生难忘的，最令人难以忘怀的是每个周日的郊游，柯尔莫哥洛夫邀请他所有的学生（研究生或本科生）以及别的导师的学生前来参加郊游活动，在郊游的过程中，我们讨论当前的数学（及其应用）问题，还有一些有关绘画、建筑和文学方面的问题。”
Nikolsky院士回忆起柯大师在卫国战争（德军压境，人们从莫斯科撤离到喀山，湍流的工作就是在喀山时期完成的）的一件事：”1941年8月，卫国战争开始后不久，我被派出莫斯科，前往马洛亚罗斯拉夫以西，挖掘一个从北向南延伸数百公里的坦克防御。全然不知自己的命运将往何处，就在离开之际，我通过学院秘书向柯尔莫戈洛夫提交了一些关于我博士答辩的材料。但不幸的是，德国人在10月初突破了我们的坦克防御，有关坦克的工作停止了，我最终来留在了莫斯科。数学研究所的一些成员还在，还没有完成撤离，柯尔莫戈洛夫当时也在莫斯科。但10月16日爆发了恐慌：人们认为德国人将马上攻陷这座城市。我得知柯尔莫戈洛夫和我们的主任Sobolev院士在前一天晚上匆匆离开了莫斯科：10月15日晚上，他们接到一个电话，通知他们必须立即前往Pavelets站，只携带随身行李--一列专列正等着将他们从莫斯科送到喀山（Kazan）。十月下旬，Anatolii Ivanovich（58年当选为苏联科学院院士）和我也来到了喀山。
在喀山的第一次会议上，老师邀请我晚上到他家喝茶。他和他的朋友亚历山德罗夫院士、姨妈维拉在一个拥挤的地方住着，房间的一角被两个书架区分开来用于研究：许多伟大的发现正是诞生在这个书架后面的角落里，并在各国学术机构的特别收藏中永垂不朽。那天老师喝完茶，走到书架后面，回来——你们猜——居然带着我的手稿，这让我感动不已。他说这些材料完全足以写成一篇博士论文，并建议我中断手头的博士研究开始准备答辩（我本打算再读两年），--当时正逢战乱，这件事更显得难能可贵。不仅如此，老师对Anatolii Ivanovich随后也说过类似的话。两个月后，我们俩顺利完成了博士论文答辩。
然而回想起来，在这艰难的岁月中，最让我难以忘怀的，是10月15日那个难过的晚上，老师匆匆离开了他在莫斯科的家时，不忘把我的论文初稿放进他的行李箱，他本可以在那里多放一条暖裤的——许多人都是这么做的。而这也仅仅只是柯尔莫戈洛夫对学生温暖的人道主义关切的一个例子。我们所有人（并不在少数），都将终生铭记我们的老师（our Teacher），直到生命的尽头。”
A. G. Vitushkin院士（是一位盲人数学家，柯老的博士生）描述他在初识柯大师时：“我问柯尔莫哥洛夫我的两篇文章能投给 Doklady 杂志 吗。刚听完结果的形式后，柯尔莫哥洛夫惯常的“嗯…”着沉思了一下，然后说“结果是对的，我知道如何推导了。”啊！我简直有点丧气。亚历山大洛夫院士也恰巧在一旁，他安慰我说“别灰心，柯尔莫哥洛夫只是什么都知道。一周后我去问柯尔莫戈洛夫的决定，又惊讶了：他已经逐字逐句帮我改了，并且在打字机上敲了一份。 ”
Yaglom院士（柯大师战前的博士生，湍流方向）：“由于我也是柯尔莫哥洛夫的学生，盖尔范德经常问我同一个问题“我和柯尔莫哥洛夫谁是更伟大的数学家？”我要么回答“柯尔莫哥洛夫”，要么说“你给的集合（盖尔方德，柯尔莫哥洛夫）是部分有序的，但不是完全有序的”。盖尔方德当然是一位数学巨人，但柯尔莫哥洛夫更加强大。”
科尔莫哥洛夫是温暖的、关怀的，但也是鞭策的。Shireyaev院士写道：” Students of Kolmogorov, and they are numerous indeed, stated on several occasions how lucky they were to be his pupils. However, they always added that it also was a huge responsibility. There was constant pressure to get as much as possible done so that during the next meeting with Kolmogorov they would be able to tell him about their progress. One of my friends characterized his attitude about Kolmogorov as "panicked respect.“
柯尔莫戈洛夫的名字安德烈·尼古拉耶维奇，是沿用了《战争与和平》安德烈·尼古拉耶维奇·宝尔康斯基公爵的名字——这是她母亲的遗愿（逝于难产），柯尔莫戈洛夫的姥爷家其实也是贵族。柯尔莫戈洛夫的两位姨妈收养了他。尤其是维拉姨妈，爱他视如己出，并终生未婚。柯尔莫戈洛夫也把她视为自己的母亲，让她感到骄傲、并孝敬、陪伴她直至养老送终（维拉姨妈在87岁老去）。
顺便提一句关于柯尔莫戈洛夫一件有趣的事：天生是左撇子，小时候开始练习右手，最终两只手都可以从事书写等精细活动。
1910年，维拉·雅科夫列夫娜（Vera Yakovlevna）和她的养子搬到了莫斯科，在那里，安德烈·尼古拉耶维奇加入了私立的Repman预科小学（在十月革命后更名为第23级小学）。 柯尔莫哥洛夫多次提起过这所小学的美好融洽氛围，这是由一群思想民主的知识分子建立的。就学费而言，它也是最便宜的之一（虽然他们家物质上是丰裕的，但一家人信奉托尔斯泰主义：工作、劳动，道德自我完善）。
1942年，柯尔莫戈洛夫与安娜（ Anna Dmitriyevna Kolmogorova ）结婚，安娜是他小学就认识的同学和好朋友。安娜的儿子 Oleg Ivashev-Musatov 因此成为了柯尔莫戈洛夫的儿子（son-in-law）。
柯尔莫戈洛夫：“If there existed a better world, in which people were reunited with the dead for eternal life, of course I would most of all like to meet my grandfather and grandmother who raised me, whose love and kindness have been more than sufficient for my entire life.” “And, of course, I would like to make an appointment with by beloved teacher”
Shiryaev院士：“…在沙滩上，柯尔莫戈洛夫听到我10岁的儿子对一个女孩说她说谎了。柯尔莫戈洛夫纠正他说：男孩子不能对女士那样说话。你可以说：我恐怕你可能偏离了事实。”
在生命的最后6年，柯尔莫戈洛夫饱受疾病的困扰（眼疾、帕金森），他的博士学生、大学教过的学生、柯尔莫戈洛夫中学的学生，自发地去帮助柯大师的妻子和医护人员去照料他、陪伴他，数年如一日，阿诺尔德描述这段时光时说“... 跟老师在一起的时光总是愉快的”。
柯尔莫哥洛夫和冯诺依曼，两个同是1903年的超级巨星，同样级别的广博精深，研究兴趣又重合了部分。他们分别在东、西方，但有个有趣的交集：1954年，在荷兰阿姆斯特丹的国际数学家大会上，柯尔莫哥洛夫做了opening lecture（内容就是著名的KAM），冯诺依曼做了closing lecture，也可见他们二人的崇高地位 （两人的相像容易让人想到我们的迪克叔叔和朗道）。但由于特殊的政治背景，冯诺依曼又参与过曼哈顿计划和政治，两位巨人没有直接交流。
与苏联理论物理大高手朗道：朗道非常尊重和欣赏柯尔莫戈洛夫的工作（二人分别是苏联最伟大的数学家和理论物理学家），包括概率论，尤其欣赏柯尔莫戈洛夫在湍流和KAM方面的工作。但也表示柯尔莫戈洛夫的概率论在物理里面没什么用场。但最近一些年，概率随机方向的学者拿下了几次沃尔夫奖和玻尔兹曼奖，又如2022年世界数学家大会的1小时报告，其中35%是柯大师的领域或报告人是再传弟子，让历史继续裁判吧。
伊藤清（沃尔夫奖得主）在《柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩》写的非常感人：“当我得知苏联伟大的数学家，84岁的A N Kolmogorov教授于1987年10月20日离开人世时，我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。在我还是学生时（1937年）读了他的名著《概率论的基本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了50年之久。对于我来说，柯尔莫戈洛夫就是我的数学基础。……
柯尔莫戈洛夫在数学的几乎所有领域中，都提出了独创的思想，导入了崭新的方法，他的业绩是非常辉煌的。然而，我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象，这也许正是伟大数学家的形象吧。
柯尔莫戈洛夫的论文我自认为基本上都好好地读过了 ，在撰写本稿时，我又对他整个的研究成果做了一个直接或间接的调查。对其研究的广度和深度不得不叹服。”
诺维科夫院士（Novikov，菲尔兹+沃尔夫奖得主) 视柯尔莫戈洛夫是自己的老师，对自己影响颇大，他在《Memories of A N Kolmogorov》写道“ it is well known that the majority regard Kolmogorov as the greatest mathematician of our time …not interfering with the scientific affairs of the younger generation but offering them every kind of help in difficult situations. He supported me by helping in various undertakings…
”
机器学习理论的奠基人Vapnik院士说：”Kolmogorov是我的英雄“，他也是柯尔莫戈洛夫奖（Kolmogorov medal）2018获得者，推荐看看YouTube上他的演讲。Vapnik最著名的工作——描述机器学习方法capacity的VC维，受启发于Kolmogorov在复杂性方面的工作（epsilon capacity等）。
在伯克利工作的统计学家Neyman曾多次邀请柯尔莫哥洛夫访学，柯尔莫哥洛夫也乐意去美国看看，但最终没能成行。Lehmann在《Reminiscences of a Statistician-The Company I Kept》记述了这件事：“An event planned for the second year of my term to which I was looking forward with great excitement was an extended visit by Andrei N. Kolmogorov, considered by many to be the greatest living mathematician . ... Neyman knew Kolmogorov well and had repeatedly tried to bring him to Berkeley for a visit, without success. This time, the situation looked very promising. In fact, the university catalogue for the year 1974–75 lists Kolmogorov among the visiting faculty. What made me so confident was that some months before he was due to arrive, Kolmogorov had sent a vanguard in the form of his young colleague, Igor Zhurbenko,.... All these preparations went well, but unfortunately at the last moment Kolmogorov experienced severe health problems and had to cancel the visit. ”
许宝騄（许多人认为在我国，许先生与华先生、陈先生齐名，当年并称“西南联大三杰”）把数学家分成三流，他说: “第一流的数学家，是有天才的，他们能开闯新的领域，如柯尔莫哥洛夫， 冯.诺依曼，维纳这一类人，这些人是可望而不可及的。 第二流数学家是靠刻苦学习而成的，认真消化整理前人的东西，在这个基础 上有所创造发现，象欣钦这样的数学家就是这一类的，他写的《公用事业理论的数学方法》、《信息论基础》等就是消化整理的结果。这种工作对后人影响较大， 年青人可以在这个基础上较快地进入科学的前沿，中国缺少一批做这一类工作的 人。第三流的数学家只在某一、二个问题上有一点贡献，不能象第二流的那样有系统的工作。剩下的就是不入流的数学家了。”
那个著名的典故：1963年学生会议，美国统计学家雅各布·沃尔夫维茨(Jacob Wolfowitz):“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人，还是一个研究机构。”
………
这所学校从全国招收有数学、物理天赋的学生，完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助，尽管一些年代俄罗斯经济上困难重重，但这点直到现在都没变。柯尔莫哥洛夫中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的，到80年代末，90年代初，已经有几个当年的学生成了科学院院士。
有本书叫Kolmogorov in perspective，他的学生回忆了他的许多故事。让我印象深刻的一个是：在苏联十分危险的民族主义时期，为了给犹太裔学生争取权益，柯尔莫哥洛夫戴上自己所有的勋章，去政治人事部门做游说和斗争，为学生撑开保护伞（我国钱三强先生在特殊时期也是这么做的）。
给中学生推荐柯尔莫哥洛夫主编的小册子（各章作者都是大家，网上有电子版、也有卖中文版，译者也均是我国高手，行文流畅）：《数学它的内容方法和意义》。
感谢Shiryaev院士允许我翻译他的长文 Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，即下面参考文献1。
1 1989-Shiryaev院士- Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，长文
2 《Kolmogorov in perspective》 其中除了若干位学生的回忆文章，还有Kolmogorov写的长文Newton and Contemporay Mathematical Thought和Memories of P S Aleksandrov
3 《Golden years of Moscow mathematics》，整本书一半多都提到了Komlogorov！
4 《The Kolmogorov Legacy in Physics》，有pdf
5 《Kolmogorov's Heritage in Mathematics》 ，有pdf
6 《The Honors Class Hilberts Problems and Their Solvers 》 Benjamin H. Yandell，有pdf
7 Nikolski院士-The Great Kolmogorov，文章
8 1988-Tikhomirov-The Life and Work of A N Kolmogorov，长文，俄语
9 1988-Arnold-A few words on Andrei Nikolaevich Kolmogorov
10 伊藤清-柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩
11 龚光鲁教授-柯尔莫哥洛夫，纪念文章
12 潘玉林博士-流体力学风云录-东邪柯尔莫戈洛夫，非常有趣的文章
13 Excerpts from Kolmogorov’s Diary，柯大师日记英译节选
14 Selected Works I、II、III卷
15 关于KAM的一本科普书，《The KAM Story A Friendly Introduction to the Content, History, and Significance of Classical Kolmogorov-Arnold-Moser Theory》，中文版叫《KAM的故事》
我国学生能容易看到的柯尔莫戈洛夫写的书 ：
《Introductory Real Analysis》
《Measure, Lebesgue integral and Hilbert Space》
《函数论与泛函分析初步》
《数学——它的内容、方法和意义》，英文版 Mathematics-Its Content, Methods and Meaning，1、2、3卷
《概率论导引》，是初等概率论，不涉及测度论
本文无意也无力去评论哪位科学巨人更伟大或最伟大，而只是想呈现我心目中的英雄，并尽量形象立体、丰富一点。
学习和工作原因，多年之前就知道了英雄的伟大名字和辉煌业绩。另一方面，2020中美贸易战和疫情后，西方媒体的攻势和舆论控制，使我更加想了解苏联杰出科学家的经历和贡献，他们的学问和高尚品格显然应该获得更多的了解。舆论控制能力强大的西方造神了一些所谓个性化的科学家并推销附属价值观，在我国得到了不匹配的流行。
本文最先发于知乎 https://www.zhihu.com/column/c_1430261142283825152
