Question

线代中的空间概念

Answer 1

作为一个混迹在博士圈中的小硕士，一直以来受到尤其多的学术熏陶，研究生期间一直都在无涯学海中胡乱挣扎，在找实习之前，从来没有回望目前自己的知识体系，终于实习也差不多定下来了，小硕决定把自己的积累整理一下/【或许就是把自己的笔记摘要的整理一下】，一来分享给大家，二来重新认识一下自己。/【捂脸】

空间，闲事不管，这里只说线代中常提的空间，如向量空间、欧式空间、希尔伯特空间等等，小硕想通过这篇文章理清空间、度量、夹角、完备等一系列尤其基础却抽象的熟悉概念。

1，首先，空间是什么？我们通常听到的话是假设数据点位于欧式空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间中。。。那么到底什么是空间呢？空间的本质是集合，空间是用来放东西的一个集合，线代中所说的空间是用来放数据点的集合。,

2，那一个空间也不是什么数据都允许放进去的啊。一个空间允许放什么形式的数据呢？也就是说不同的空间对数据点的要求是不一样的，如二维空间只允许放二维数据点啊，不允许放三维空间中的点。

3，数据点进一个空间干什么呢？它进入的这个空间能给它一些合法权利啊。。。比如一个数据点A只有进入它的小伙伴所在的空间才能跟他们聊天玩耍啊。。。

好了，废话就说到这，总结起来就是，空间是集合；不同的空间装不同类型的点，一个点进入它对应的空间；一个空间为集合中的点定义操作，这个空间中的点可以进行该空间赋予它的操作；空间定义的操作可以完成点与点对话的基本需求，如距离、角度、长度等。而空间上定义的这些操作构成我们今天的主角。

概念了解完毕，这里就不上虚的了。

1，距离：

非负，对称，三角不等式。这个概念太基础了，不多说。详见Wiki

2，范数：

数乘，三角不等式，非负。范数相比距离多了一个数乘的条件，可以将范数看做一个强化了的距离定义。

3, 内积：

共轭，数乘，分解，正定。

距离、范数、内积是线性代数中基础且非常重要的概念。/强调这个好无力。。。

线性结构，仅有向量的加法、数乘等；

距离+线性结构，形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间；

向量空间+范数（范数表示某点到空间零点的距离）。

范数的集合----》赋范空间+线性结构--》线性赋范空间 ；

距离的集合----》度量空间+线性结构--》线性度量空间；

线性赋范空间+内积运算--》内积空间； 

这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等，有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。

继续在内积空间上扩展，使得内积空间满足完备性，形成希尔伯特空间如下： 

内积空间+完备性---》希尔伯特空间 ，其中完备性的意思就是空间中的极限运算不能跑出该空间。

赋范空间+完备性---》巴拿赫空间；

对距离进行弱化，保留距离的极限和连续概念，就形成拓扑的概念；

拓扑：距离、范数、开集。

拓扑这个我也不是很懂，但他只是把原实数空间上的那些操作重新定义到集合上。比如连续、邻域等的重新定义。

这就写到这吧，有误之处，麻烦指出来，一起学习交流啦~