Question

已知a,b为不相等的正实数,求证:[(a+b)/2]∧(a+b)>a∧b*b∧a

Answer 1

a,b > 0,由均值不等式得(a+b)/2 ≥ √(ab).
而a,b不相等,故等号不能成立,即有(a+b)/2 > √(ab).
于是((a+b)/2)^(a+b) > (ab)^((a+b)/2).
只要证明(ab)^((a+b)/2) ≥ a^b·b^a.
两边取对数(不妨以10为底)得:
(a+b)(lg(a)+lg(b)) ≥ 2b·lg(a)+2a·lg(b).
可整理为(a-b)(lg(a)-lg(b)) ≥ 0,由lg(x)单调递增可知成立(其实就是排序不等式).