Question

怎样证明（n-1)*样本方差与总体方差之比服从自由度为n-1的卡方分布

Answer 1

样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。这个公式是通过修正下面的方差计算公式而来的：

修正过程为：

我们看到的其实是修正后的结果：

对于这种修正的话是有相关的公式推导的。需要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计，但是我们是不知道真正的总体均值是多少的，只能通过样本的均值来代替总体的均值。

所以样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有偏差，是会低估了总体的样本方差的。为了能无偏差的估计总体方差，所以要对方差计算公式进行修正，修正后就得到（n-1)*样本方差与总体方差之比服从自由度为n-1的卡方分布。

扩展资料：

样本方差的计算：

样本方差的计算，分母用 n-1的原因： 

在总体均数已知的情况下，我们可以使用如下公式：

然而，通常我们是无法获得总体均数的，即，需使用样本均数来代替。

使用样本均数来代替总体均数，会使得估计的变异偏小。如下图所示：

样本与总体均数的距离为上方红色双箭头；而样本与样本姝的距离为下方红色双箭头。一个明显的低估。

为了确保获得一个无偏估计统计量，我们可以对 n 做一个惩罚，变为 n-1 。

下方Sn-1^2的公式，即为常用样本方差计算公式，总体方差的一个无偏估计。

参考资料来源：百度百科--卡方分布

参考资料来源：百度百科--样本方差